problème résolue

PROBLEME RESOLU n° 10-B : Principe de l’entretien des oscillations (Bac)
 
 

ENONCE :


On considère le circuit représenté ci-dessous :

figure 1

Le condensateur est initialement chargé. En fermant l’interrupteur K, on relie ce condensateur à une bobine AB d’inductance L et de résistance r.

Données : C = 0,22 mF et L = 4,7 mH.

· 1- Etablir l’équation différentielle régissant l’évolution temporelle de la charge q = qB du condensateur.

Cette équation se simplifierait si la résistance r de la bobine AB était nulle. Calculer, dans cette hypothèse, la période propre  et la fréquence propre des oscillations électriques. (corrigé)

· 2- Pourquoi faut-il, dans le montage réel, apporter de l’énergie pour entretenir les oscillations ? (c)

· 3- On introduit dans le circuit un générateur dont la tension à ses bornes est proportionnelle à l’intensité du courant.

figure 2

a) Etablir l’équation différentielle satisfaite par la charge q du condensateur. (c)

b) Justifier l’appellation de “résistance négative” donnée au dipôle correspondant à la portion de circuit MA qui contient le générateur. (c)

c) A quelle condition (relation entre r et k) y a-t-il “accrochage”, c’est-à-dire établissement des oscillations entretenues ? (c)

 

SOLUTION :

 

· 1- (énoncé) Etablissons l’équation différentielle régissant l’évolution temporelle de la charge q = qB du condensateur.

figure 3

· L’orientation du circuit de la figure 3 permet d’écrire :

i = iAB = iBM = iMA (1)

i = iBM =  (2) et donc  = (3)

uAB = r iAB + L  = r i + L  (4)

uBM = (5)

uMA = 0 (6)

· La loi des tensions appliquée à la maille ABMA s’écrit :

uAB + uBM + uMA = 0

Remplaçons ces tensions par leur valeur donnée par les relations (4), (5) et (6) :

r i + L  +  + 0 = 0 (7)

Comme on cherche l’équation différentielle régissant l’évolution temporelle de la charge q = qB du condensateur, il nous faut faire disparaître l’intensité du courant i de l’équation (7).

On a vu que i =  (2) et  = (3).

Portons dans l’équation (7) r i + L  +  + 0 = 0 :

 + L  +  = 0

L  + r  +  = 0 (8)

L’équation (8) est une équation différentielle du second ordre, à coefficients constants, sans second membre. Elle régit l’évolution de la charge q = qB du condensateur en fonction du temps.

· Si la résistance r de la bobine était négligeable, alors l’équation (7) se simplifierait :

 +  = 0 (9)

 qB = 0

+ qB = 0 (10)

La solution de (10) est une fonction sinusoïdale de la forme :

q = Qmax cos (  t + j ) (11) avec la période propre :

(12)

L’énoncé donne C = 0,22 mF = 2,2 ´ 10 – 7 F et L = 4,7 mH = 4,7 ´ 10 – 3 H. On obtient :

To = 2,020 ´ 10 – 4 (13)

La fréquence fdes oscillations électriques est :

f= 1 / To = 4950 Hz (14)

Si la résistance r de la bobine AB était négligeable, la période propre et la fréquence propre des oscillations électriques sinusoïdales auraient pour valeur :

To = 2,020 ´ 10 – 4 2,0 x 10 – 4 s (13)

f= 1 / To = 4950 Hz 5,0 x 10 3 Hz (14)

Les résultats numériques, comme les données de l’énoncé, ne doivent comporter que 2 chiffres significatifs.

· 2- (eNécessité d’apporter de l’énergie pour entretenir les oscillations malgré la présence de la résistance r.

· Si la résistance r du circuit était nulle l’énergie électromagnétique du circuit se conserverait. Cela s’écrirait :

E = Eélectrique + Emagnétique C U 2 + L i 2 = constante (15)

L’énergie, initialement stockée dans le condensateur, passerait progressivement dans la bobine puis de la bobine dans le condensateur et le cycle recommencerait.

· Dans le cas où la résistance r du circuit n’est pas nulleil y a dissipation d’énergie calorifique à travers la résistance, ce qui entraîne un amortissement des oscillations avec diminution progressive de l’énergie électromagnétique du circuit r, L, C.

Si, malgré la présence de la résistance r, on veut entretenir des oscillations d’amplitude constante dans le circuit, il faut compenser la perte d’énergie calorifique (effet Joule), en ajoutant dans le circuit un dipôle équivalent à une “résistance négative”, laquelle au lieu de consommer de l’énergie électrique en fournira au circuit pour compenser celle perdue dans la résistance positive r.


· 
3- 
Etude du circuit en présence du générateur auxiliaire.

figure 4

a) (eEtablissons la nouvelle équation différentielle satisfaite par la charge q du condensateur.

En se rapportant à la figure 4, on peut écrire :

uAB = r i + L  (4) uBM =  (5) uMA = – k i (6 bis)

· La loi des tensions appliquée à la maille ABMA s’écrit :

uAB + uBM + uMA = 0 (16)

r i + L  +  – k i = 0

Mais, on sait que i = iAB = iBM =  (2) et que  = (3)

 + L  +  – k  = 0

L + (r – k)  +  = 0 (17)

b) (eJustifions l’appellation de “résistance négative” donnée au dipôle correspondant à la portion de circuit MA qui contient le générateur.

Le dipôle correspondant à la portion de circuit MA qui contient le générateur a pour caractéristique UMA = – k iMA (18) (avec k positif). Pour une résistance habituelle R, positive, on écrirait UMA = R iMA (19).

La comparaison des relations (18) et (19) montre que le dipôle correspondant à MA se comporte comme une résistance négative R = – k (avec k positif).

On sait qu’une résistance habituelle, positive, reçoit de l’énergie électrique. Ici, le dipôle MA ne reçoit pas d’énergie électrique mais, au contraire, en fournit au reste du circuit.


c) 
(eA quelle condition (relation entre r et k) y a-t-il “accrochage”, c’est-à-dire établissement des oscillations entretenues ?

· Reprenons l’équation différentielle établie ci-dessus :

 + (r – k)  +  = 0 (17)

· Si on choisit k = r (condition d’accrochage) alors l’équation (17) devient :

 +  = 0 (19) identique à   +  = 0 (9)

Nous avons vu que la solution de (9) est une fonction sinusoïdale de la forme :

q = Qmax cos ( t + j ) (12) avec la période propre :

2,0 x 10  4 s(12)

Ainsi, malgré la présence de la résistance r, on peut entretenir des oscillations sinusoïdales dans le circuit r, L, C si on choisit k = r (condition d’accrochage).

Remarque : Il est également utile de revoir le paragraphe 4 de la leçon 10. La partie bleue du schéma constitue la “résistance négative” du montage.

 

A VOIR :

Problème résolu n° 10 A : Charge d’un condensateur – Décharge oscillante.

Problème résolu n° 10-B ci-dessus : Principe de l’entretien des oscillations électriques.

Problème n° 10-C (à résoudre) : Oscillations électriques libres.

Problème n° 10-D (à résoudre) : Un réveil en douceur (Bac 2008 – France).



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