INTÉGRALES ET PRIMITIVES

Introduction
Ce chapitre introduit un outil mathématique assez simple : les primitives. La seule chose à connaître, ce sont les formules des dérivées, ce pourquoi nous t’invitons dès maintenant à revoir le chapitre sur les dérivées, même si nous faisons un petit rappel ici 

Présentation
Pour faire simple, une primitive c’est « l’inverse de la dérivée ». La dérivée d’une fonction f se note f ’, et généralement la primitive de f se note F. Par définition, f est la dérivée de F, on a alors la relation :

F est la primitive de f, donc f est la dérivée de F.

Rappel des dérivées

Tableau des dérivées
f f’

On rappelle que quand on a une fonction composée, comme cos(u), u4 ou 1/u par exemple, les formules sont les mêmes sauf qu’on remplace x par u, et on multiplie la dérivée par u’. Pour plus de précisions, se référer au chapitre sur les dérivées composées

Tableau des primitives

Haut de page

De même que pour les dérivées, nous allons faire un tableau pour les primitives 
Tu dois le savoir aussi bien que celui des dérivées, c’est-à-dire PAR COEUR !!! Tu dois pouvoir trouver les primitives de base en 1 seconde à peine, ça doit être automatique ! Pour t’entraîner tu trouveras un lien vers des exercices en vidéo sous la tableau 
Une remarque importante : quand on fait la primitive, il y a toujours une constante qui apparaît ! La plupart du temps, en mathématiques, on la prend égale à 0 (comme ça c’est plus simple^^)
Sauf qu’en PHYSIQUE, IL NE FAUT JAMAIS OUBLIER LA CONSTANTE !!!! Sinon c’est tout faux… Dans le tableau on n’a pas mis la constante, mais en physique il faudrait la mettre…

Tableau des primitives
f F (LA PRIMITIVE)

Bon comme tu le vois ce n’est pas très compliqué à partir du moment où tu connais les dérivées, car ça ressemble beaucoup.
Une petite astuce quand tu calcules une primitive pour vérifier si c’est bon : dérive la primitive F que tu as calculée !
Normalement tu devrais retrouver f puisque F’= f !

Concernant les constantes devant les x, tu les laisses !
Par exemple, la primitve de x est x2/2. Et bien la primitve de 3x est tout simplement 3x2/2 !!
Quand tu primitives, tu écris le 3 et tu primitives le x normalement, un peu comme pour le dérivées.

Maintenant il s’agit de s’entraîner le plus possible pour que les calculs de primitive deviennent très rapide. Ces exercices de calcul de primitives sont là pour ça 

Les fonctions composées

Haut de page

Ce que l’on vient de voir ce sont les cas simples. Ca devient un peu plus compliqué quand il s’agit de primitiver des fonctions composées 

Mais en fait, c’est tout aussi simple ! Tu sais que quand on dérive une fonction composée, il suffit de multiplier par u’.
Et bien pour primitiver, c’est l’inverse, il faut faire apparaître u’ dans la fonction à primitiver !

Le tableau est alors le suivant :

Tableau des primitves composées
f F (LA PRIMITIVE)

Tu remarque que c’est EXACTEMENT le même tableau que précédemment sauf que c’est u à la place de x et qu’il y a u’ dans f à chaque fois.
Ainsi, quand il faut primitiver des fonctions composées, il faut D’ABORD faire apparaître u’ avant.

Ces exercices sur les primitives de fonctions composées devraient te donner une meilleure idée de ce qu’il faut faire 

Intégrale : notion d’aire sous la courbe

Haut de page

Une intégrale, c’est quoi ? Pour faire simple, c’est l’aire sous la courbe d’une fonction, entre deux points d’abscisses a et b. Avec un petit dessin tu comprendras mieux 

Voilà, graphiquement, une intégrale c’est ça ! Et ça se note comme cela :

déçu

Cette intégrale se lit : « intégrale de a à b de f de x dé x ». Bien sûr a et b peuvent valoir ce que l’on veut, 1, 12, 65, √23, Pi, et même l’infini !
a et b sont appelées les bornes de l’intégrale.
Tu dois te demander pourquoi il y a dx à la fin (ça se prononce dé x). En fait cela indique que l’on intègre par rapport à x. On pourrait très bien écrire :

déçu

A ce moment là c’est t la variable, ça revient au même mais parfois on prend d’autres notations que x, et on peut prendre t, m, k, g…


ATTENTION à ne pas oublier ce dx quand tu écris une intégrale, souvent on l’oublie parce qu’on ne voit pas l’utilité ou parce qu’on est pressé par exemple, mais normalement si tu ne le mets pas il y a une erreur. Prends donc de bonnes habitudes dès maintenant en pensant bien à l’écrire à chaque fois.

Souvent, les énoncés sont rédigés de la sorte : « exprimer à l’aide d’une intégrale l’aire définie par l’axe des abscisses, la courbe Cf, et les droites d’équations x = a et x = b ». A ce moment-là c’est très simple, c’est exactement l’aire en bleu ci-dessus ! Il suffit donc de dire que c’est :

déçu

Propriétés avec l’aire sous la courbe

Haut de page

Tout d’abord une propriété qui va nous servir tout à l’heure : la relation de Chasles !
C’est exactement pareil que pour les vecteurs, mais avec des intégrales, donc rien de bien particuleir 
Par exemple :

déçu

Une autre propriété qui peut servir mais qu’on utilise rarement : quand on inverse les bornes de l’intégrale, on met un moins devant.

déçu

Voyons maintenant une propriété que l’on utilise parfois quand on veut prouver des inégalités :

déçu
alors
déçu

Autrement dit on peut passer à l’intégrale dans une inégalité si les 2 fonctions sont positives (ou si les 2 sont négatives d’ailleurs, mais on rencontre rarement ce cas).

Une autre propriété à savoir : l’intégrale d’une fonction positive est positive :


Du coup attention !! Si f est négative, l’intégrale sera négative !
Mais on a dit que l’aire sous la courbe, c’était l’intégrale, or une aire n’est jamais négative…
Alors on fait comment ? Et bien on met un moins devant 

Par exemple cette fonction :

La fonction est négative, donc l’aire sous la courbe est :

déçu

il ne faut pas oublier le moins…

Mais on fait comment si la courbe est alternativement négative et positive ?
C’est là qu’intervient ce bon vieux théorème de Chasles 
Cette fonction par exemple :

On découpe l’intégrale sur les différentes parties où la fonction est positive et négative, mais il ne faut pas oublier de mettre un moins devant quand la fonction est négative !!

Calcul d’intégrales

Haut de page

Bon maintenant qu’on sait exprimer les intégrales, il faudrait peut-être savoir les calculer !
Et bien si tu connais les primitives, cela va être EXTREMEMENT simple !! Prenons un exemple.
Je veux calculer :

déçu

Le 3 est une CONSTANTE, donc je peux le SORTIR DE L’INTEGRALE :

déçu

Maintenant il suffit de trouver la primitive de x2 : c’est x3/3 !
On met alors la primitive entre CROCHETS en mettant les bornes (ici 2 et 6) à DROITE des crochets comme ceci :

déçu

Il suffit alors de remplacer le x par 6 puis par 2 de la manière suivante :

déçu

Comme tu le vois, on remplace d’abord x par 6, puis on SOUSTRAIT en remplaçant x par 2 : c’est d’abord la borne du haut (ici le 6), après la borne du bas (ici le 2). N’oublie pas que c’est une soustraction, donc il y a – entre les deux.
Et enfin on calcule et on simplifie :

déçu

déçu

déçu

Tu remarques qu’il n’y a aucune difficulté, il suffit de connaître la méthode, avec un peu d’entraîenement ça devrait marcher comme sur des roulettes 

Là où ça devient un peu plus dur, c’est quand il faut un peu bidouiller la fonction pour trouver une forme qui est dans le tableau. Cela correspond principalement aux fonctions composées. Voyons un petit exemple :
Calculons

déçu

On voit que l’on a une fonction du style 1/u, avec u = 3x + 5. Sauf que dans le tableau, nous on a u’/u…
Il faut donc faire apparaître le u’ ! Ici u’ vaut 3, il faut donc multiplier par 3, mais pour compenser il faut aussi diviser par 3.
On a alors :

déçu

Le 3 qui nous intéresse est celui du haut, celui du bas n’est pas important pour la primitive, donc on le sort de l’intégrale :

déçu

Et là on retrouve notre u’/u dans l’intégrale, dont la primitive est ln(u), on peut alors appliquer la formule du tableau.
MAIS IL NE FAUT PAS OUBLIER LE ⅓ devant !!

déçu

déçu

déçu

déçu

déçu

Ici c’est un exemple assez simple, parfois c’est plus compliqué. L’important ici est que tu t’entraines à calculer beaucoup d’intégrales, comme ça tu iras de plus en plus vite et tu n’hésiteras plus à la fin.
C’est pour cela que nous t’avons préparé quelques intégrales à calculer pour que tu puisses t’exercer 

Intégration par parties

Haut de page

Parfois il arrive que la fonction à intégrer ne corresponde à aucune formule dans le tableau.
On peut alors utiliser une méthode : l’intégration par parties, que l’on note souvent IPP.
La formule est la suivante :

déçu

Avec un exemple tu comprendra sûrement mieux 
Calculons :

déçu

La seule difficulté avec les IPP est de choisir qui sera u et qui sera v’ ! En effet, il faudra dériver u pour avoir u’ mais intégrer v’ pour avoir v… Là il n’y a pas de règle, mais avec l’entraînement tu verras tout de suite ce qu’il faut prendre 


Il existe en réalité une règle qui n’est pas systématique mais qui peut t’aider à choisir qui est u et qui est v’.
C’est ce qu’on appelle la règle du LPET (en phonétique « elle pète », facile à retenir…).
L pour logarithme (ln), P pour polynôme, E pour exponentielle et T pour trigonométrique.
On choisit pour u en priorité les fonctions L, puis les fonctions P, puis E et enfin T.
Par exemple si on doit intégrer (x+2)*cos(x), on a un polynôme fois une fonction trigo, donc P*T. Comme le P est avant le T dans LPET, on prend le polynôme pour u et la fonction trigo pour v’.
Autre exemple : x*ln(x+2) : on a un polynôme fois une fonction ln, donc P*L. Comme L est avant P dans LPET, on prend la fonction ln pour u et le polynôme pour v’.
ATTENTION, cette règle ne marche pas tout le temps, seule la pratique te permettra de savoir faire correctement une IPP !!

Ici, si on intègre x, on aura x2/2, ce qui ne vas pas simplifier les choses… en effet, le but est de simplifier l’intégrale.
Par contre si on dérivé x, on obtient 1, ce qui va sûrement rendre les choses plus simple.
On pose alors u et v’, et on calcule u’ et v, il est conseillé de tout écrire de la manière suivante
u = x     u’ = 1
v’ = ex     v = ex

Il ne reste plus qu’à appliquer la formule :

déçu

déçu

déçu

déçu

déçu

déçu

Bon c’est sûr c’est un peu long mais c’est malheureusement le seul moyen que tu as pour calculer ce genre d’intégrales. Souvent ils demandent explicitement dans la question : « à l’aide d’une intégration par parties, calculer… ». Ils t’aident pas mal quand même 
Tu as remarqué que pour passer de la 2ème à la 3ème ligne, on a calculé l’intégrale de ex : ici c’était une intégrale simple, on l’a calculée directement.

On retrouve souvent des IPP dans les suites : on a un qui est une intégrale, et on te demande de trouver une relation de récurrence entre un+1 et un à l’aide d’une intégration par parties. La démarche est expliqué dans cette vidéo d’exercices sur les IPP
Bien sûr tout comme les intégrales il te faut de l’entraînement. N’hésite pas à refaire les exemples et exercices de cette page et des vidéos 

Intérêt des primitives et intégrales
Comme on l’a vu, les intégrales servent à calculer l’aire sous la courbe d’une fonction. Cette aire a parfois une signification physique, notamment en thermodynamique.
En physique, les intégrales servent également à calculer certaines grandeurs sur des espaces ou des temps donnés. Le travail d’une force d’un point à un autre peut se calculer à l’aide d’une intégrale par exemple.
Les primitives sont utilisées quand on a la dérivée d’une fonction et qu’on cherche la fonction elle-même. Tu verras cela en mécanique quand tu chercheras les équations horaires d’un projectile.
D’une manière générale, les primitives sont importantes puisque les dérivées le sont, et que ces deux notions sont étroitemennt liées.

Retour au sommaire des cours Remonter en haut de la page



Netmix-01!

En plus

Restez informé ! insrivez vouz à la Newslettre





Copyright © All Rights Reserved 2020 | Template Design & Development by Netmix-01